Bischoff stand in der Tradition der großen mittellateinischen Philologen und Paläographen L. Traube (1861-1907) und E. A. Lowe (1879-1969), an dessen Monumentalwerk der "Codices Latini Antiquiores" (Handschriften bis 800, 12 Bände 1934-1971) er tragenden Anteil hatte. Sein Studium absolvierte er in München, wo er sich habilitierte (1943) und Nachfolger seines Lehrers P. Lehmann wurde (1953). Dank einer ungewöhnlichen Beobachtungsgabe und eines präzisen visuellen Gedächtnisses konnte er, der in den Bibliotheken der Welt zu Hause war, die Handschriftenkunde auf eine neue Stufe heben. 

Seine Bücher über die "Südostdeutschen Schreibschulen" (1940, 1980) und die in mehrere Sprachen übersetzte "Paläographie des römischen Altertums und des abendländischen Mittelalters" haben normativen Rang. Bischoffs Auskünfte über Herkunft und Zeit von Handschriften sind in viele Abhandlungen anderer eingegangen. Zahlreich sind seine Beiträge zur Text- und Bibliotheksgeschichte (z.B. über die Hofbibliotheken Karls des Großen und Ludwigs des Frommen) und Editionen, so eine Ausgabe der "Carmina Burana" und die Publikation unbekannter Texte in den "Anecdota novissima" (1984).