Er ist Sohn des österreichischen Dirigenten Erich Kleiber, dessen Familie 1940 nach Südamerika emigrierte. 

1953 Volontär am Theater am Gärtnerplatz in München. Von 1956-1964 ist Kleiber an der Deutschen Oper am Rhein tätig, von 1964-1966 am Züricher Opernhaus und von 1966-1975 an der Stuttgarter Oper. Seit 1968 Dirigent an der Münchener Oper, bei den Bayreuther Festspielen, an der Metropolitan Opera in New York, an der Wiener Staatsoper, der Mailänder Scala, dem Covent Garden ROH und am Maggio Musicale Florenz. Seit 1975 wirkt Kleiber ausschließlich als Gastdirigent.

1982 erhielt er für "Tristan und Isolde" den Deutschen Schallplattenpreis und erhielt folgende Auszeichnungen: Österreichisches Ehrenzeichen für Wissenschaft und Kunst, großes Verdienstkreuz mit Stern des Verdienstordens der Bundesrepublik Deutschland und den Bayerischen Maximiliansorden für Wissenschaft und Kunst.